Kako izračunati površinu paralelograma izgrađenog na vektorima

Na bilo koja dva nekolinearna i ne-nula, može se izgraditi paralelogram. Ova dva vektora sklopiti će paralelogram ako u jednom trenutku kombinirate njihovo podrijetlo. Završite strane figure.

Priručnik s uputama

1

Pronađite duljine vektora ako su im date koordinate. Neka, na primjer, vektor A ima koordinate (a1, a2) u ravnini. Tada je duljina vektora A jednaka | A | = √ (a1² + a2²). Slično tome, nalazimo modul vektora B: | B | = √ (b1² + b2²), gdje su b1 i b2 koordinate vektora B na ravnini.

2

Područje paralelograma nalazi se formulom S = | A | • | B | • sin (A ^ B), gdje je A ^ B kut između zadanih vektora A i B. Sine je moguće pronaći kroz kosinus pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta: sin²α + cos²α = 1. Kosinus se može izraziti skalarnim proizvodom vektora napisanim koordinatama.

3

Skalarni produkt vektora A od strane vektora B označen je s (A, B). Po definiciji, ona je jednaka (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). A u koordinatama je skalarni proizvod napisan ovako: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Odavde možemo izraziti kosinus kut između vektora: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). U brojniku je skalarni proizvod, a u nazivniku duljina vektora.

4

Sada možemo izraziti sinus iz glavnog trigonometrijskog identiteta: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Ako pretpostavimo da je kut α između vektora akutan, minus sa sinusom može se odbaciti, ostavljajući samo znak plus, jer sinus akutnog kuta može biti samo pozitivan (ili nula pod nultim kutom, ali ovdje je kut ne-nul, to se prikazuje u stanju nekokolinearnost vektora).

5

Sada moramo zamijeniti izraz koordinata za kosinus u sinusnoj formuli. Nakon ovoga ostaje samo upisati rezultat u formulu područja paralelograma. Ako se sve to učini i numerički izraz je pojednostavljen, ispada da je S = a1 • b2-a2 • b1. Stoga se područje paralelograma izgrađenog na vektorima A (a1, a2) i B (b1, b2) nalazi formulom S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Rezultirajući izraz je odrednica matrice koja se sastoji od koordinata vektora A i B: a1 a2b1 b2.

7

Doista, da bismo dobili odrednicu matrice dimenzije dva, moramo pomnožiti elemente glavne dijagonale (a1, b2) i oduzeti od nje proizvod elemenata bočne dijagonale (a2, b1).