Kako riješiti jednadžbe s korijenima

Ponekad se u jednadžbama nalazi znak korijena. Mnogim se studentima čini da je vrlo teško riješiti takve jednadžbe "korijenom" ili, točnije rečeno, iracionalnim jednadžbama, ali to nije tako.

Priručnik s uputama

1

Za razliku od drugih vrsta jednadžbi, primjerice, kvadratnih ili linearnih sustava jednadžbi, ne postoji standardni algoritam za rješavanje jednadžbi s korijenima, ili točnije, iracionalne jednadžbe. U svakom je konkretnom slučaju potrebno odabrati najprikladniju metodu rješenja koja se temelji na "izgledu" i značajkama jednadžbe.

Podizanje dijelova jednadžbe na isti stupanj.

Najčešće se za rješavanje jednadžbi s korijenom (iracionalne jednadžbe) koristi podizanje obje strane jednadžbe na isti stupanj. U pravilu, u stupnju jednakom stupnju korijena (kvadrat za kvadratni korijen, kocka za kubni korijen). Treba imati na umu da, kad podiže lijevu i desnu stranu jednadžbe do jednolikog stupnja, on može imati „dodatne“ korijene. Stoga bi u ovom slučaju trebalo provjeriti dobivene korijene zamjenjujući ih u jednadžbi. Posebnu pozornost pri rješavanju jednadžbi s kvadratnim (jednoličnim) korijenima treba posvetiti rasponu dopuštenih vrijednosti varijable (ODZ). Ponekad je samo procjena ODL-a dovoljna da se jednadžba riješi ili značajno pojednostavi.

Primjer. Riješite jednadžbu:

√ (5x-16) = x-2

Kvadriramo obje strane jednadžbe:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², odakle uzastopno dobivamo:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu, pronalazimo njene korijene:

x = (9 ± √ (81–4 * 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Zamijenivši oba pronađena korijena u izvornoj jednadžbi, dobivamo ispravnu jednakost. Stoga su oba broja rješenja jednadžbe.

2

Način uvođenja nove varijable.

Ponekad je prikladnije pronaći korijene „jednadžbe s korijenima“ (iracionalna jednadžba) uvođenjem novih varijabli. U stvari, suština ove metode se jednostavno svodi na kompaktniji zapis rješenja, tj. umjesto da svaki put napiše glomazan izraz, zamjenjuje ga legenda.

Primjer. Riješite jednadžbu: 2x + √x-3 = 0

Ovu jednadžbu možete riješiti kvadratom obje strane. Međutim, sami će izračuni izgledati prilično nezgrapno. Uvođenjem nove varijable proces odlučivanja ispasti mnogo elegantniji:

Uvodimo novu varijablu: y = √ x

Tada dobivamo uobičajenu kvadratnu jednadžbu:

2y² + y-3 = 0, sa promjenjivom y.

Rješavajući dobivenu jednadžbu, pronalazimo dva korijena:

y1 = 1 i y2 = -3 / 2, zamjenjujući pronađene korijene u izrazu za novu varijablu (y), dobivamo:

√ x = 1 i √ x = -3 / 2.

Kako vrijednost korijena kvadrata ne može biti negativan broj (ako ne dodirnete područje složenih brojeva), dobivamo jedino rješenje:

x = 1.

četvrtasto korijensko rješenje