Kako riješiti sustave jednadžbi

Sustav jednadžbi nije teško riješiti pomoću osnovnih metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi: metoda supstitucije i metoda dodavanja.

Priručnik s uputama

1

Razmotrimo metode za rješenje sustava jednadžbi na primjeru sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznate vrijednosti. Općenito govoreći, takav sustav piše na sljedeći način (na lijevoj strani, jednadžbe su kombinirane s kovrčavim zagradom):

ax + b = c

dx + ey = f, gdje

a, b, c, d, e, f su koeficijenti (specifični brojevi), a x i y su, kao i obično, nepoznati. Brojevi a, b, c, d nazivaju se koeficijenti za nepoznanice, a c i f se nazivaju slobodnim izrazima. Rješenje takvog sustava jednadžbi nalaze se pomoću dvije glavne metode.

Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije.

1. Uzmemo prvu jednadžbu i izrazimo jednu nepoznanicu (x) u pogledu koeficijenata, a drugu nepoznanicu (y):

x = (s-by) / a

2. Zamijenite izraz dobijen za x drugom jednadžbom:

d (c-po) / a + ey = f

3. Rješavajući dobivenu jednadžbu, nalazimo izraz za y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Zamijenite rezultirajući izraz za y u izraz za x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Primjer: trebate riješiti sustav jednadžbi:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Pronađite vrijednost x iz prve jednadžbe:

x = (2y + 4) / 3

Supstituirajte dobiveni izraz u drugu jednadžbu i dobijte jednadžbu s jednom varijablom (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, odakle dobivamo:

y = 1

Sada zamjenjujemo nađenu vrijednost y u izrazu za varijablu x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Odgovor: x = 2, y = 1.

2

Rješenje sustava jednadžbi metodom zbrajanja (oduzimanja).

Ova se metoda svodi na množenje obje strane jednadžbe brojevima (parametrima) tako da se kao rezultat toga koeficijenti jedne od varijabli podudaraju (moguće s suprotnim znakom).

U općenitom slučaju obje strane prve jednadžbe moraju se pomnožiti s (-d), a obje strane druge jednadžbe s a. Kao rezultat, dobivamo:

-adx-bdu = -cd

adx + aey = af

Dodavanjem rezultirajućih jednadžbi dobivamo:

-bdu + aeu = -cd + af, odakle dobivamo izraz za varijablu y:

y = (af-cd) / (ae-bd), zamjenjujući izraz y u bilo kojoj jednadžbi sustava, dobivamo:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

iz ove jednadžbe nalazimo drugu nepoznanicu:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Primjer. Riješite sustav jednadžbi sabiranjem ili oduzimanjem:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Pomnožite prvu jednadžbu s (-1), a drugom s 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Dodavanjem (pojam pojma) obje jednadžbe, dobivamo:

11y = 11

Odakle:

y = 1

Dobivenu vrijednost za y zamjenjujemo bilo kojom jednadžbom, na primjer, drugom, dobivamo:

3x + 9 = 15, odakle

x = 2

Odgovor: x = 2, y = 1.