Kako pronaći područje kružnog segmenta

Jedan od najčešćih geometrijskih problema je izračunati područje kružnog segmenta - dijela kruga omeđenog akordom i odgovarajućeg akorda luka kruga.

Površina kružnog segmenta jednaka je razlici u površini odgovarajućeg kružnog sektora i području trokuta formiranog polumjerima odgovarajućeg segmenta sektora i akordom koji ograničava segment.

Primjer 1

Duljina akorda koji ugovara krug jednaka je vrijednosti a. Mjera stupnja luka koji odgovara akordu je 60 °. Pronađite područje kružnog segmenta.

odluka

Trokut oblikovan s dva polumjera i akordom je izosceles, tako da će visina izvučena od vrha središnjeg kuta do bočne strane trokuta tvoriti akord također biti bisektor središnjeg kuta, prepoloviti ga i medijal, prepoloviti akord. Znajući da je sinus kuta u pravokutnom trokutu jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi, možemo izračunati polumjer:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Površina sektora koja odgovara zadanom kutu može se izračunati slijedećom formulom:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Površina trokuta koja odgovara sektoru izračunava se na sljedeći način:

S ▲ = 1/2 * ah, gdje je h visina povučena od vrha središnjeg kuta do akorda. Po pitagorejskom teoremu, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Prema tome, S ▲ = √3 / 4 * a².

Površina segmenta, izračunata kao Sseg = Sc - S ▲, jednaka je:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Zamjenom brojčane vrijednosti umjesto a, lako možete izračunati brojčanu vrijednost područja segmenta.

Primjer 2

Polumjer kruga je jednak a. Mjera stupnja luka koji odgovara segmentu je 60 °. Pronađite područje kružnog segmenta.